已知:△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．(1)如图1.若△ABC为锐角三角形.且∠ABC=45°.过点F作FG∥BC.交直线AB于点G.求证:FG+DC=AD,(2)如图2.若∠ABC=135°.过点F作FG∥BC.交直线AB于点G.则FG.DC.AD之间满足的数量关系是 ,的条件下.若AG=.DC=3.将一个45°角的顶点与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2009•哈尔滨）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
（2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是______；
（3）在（2）的条件下，若AG=

，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG=

，求线段PQ的长．

【答案】分析：（1）首先证明∠CBE=∠DAC，∠AGF=∠BAD可推出FA=FG；
（2）与（1）证明方法同理；
（3）首先证明△FDC为等腰直角三角形，然后证明四边形DFHB为矩形．根据三角函数的计算得出．
解答：

证明：
（1）∵∠ADB=90°∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；

解：（2）FG-DC=AD；

（3）如图，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴∠G=∠DBA=∠DAB，
∴AF=FG
∴AG=5

，FG²+AF²=AG²，
∴FG=AF=5
∵DC=3由（2）知FG-DC=AD，
∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
∴△FDC为等腰直角三角形
∴FC=

，
分别过B，N作BH⊥FG于点H，NK⊥BG于点K，
∴四边形DFHB为矩形，
∴HF=BD=2 BH=DF=3，
∴BH=HG=3，
∴BG=

∵sin∠G=

，
∴NK=

，
∴BK=

∵∠MBN=∠HBG=45°，
∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，
∴△MBH∽△NBK
∴

，
∴MH=1，
∴FM=1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF CB=FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴PC=PF=

FC=

，
∵∠BQC=∠NQF，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴

，
∴

，
∴CQ=

FC=

，
∴PQ=CP-CQ=

．
点评：本题考查直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及综合分析、解答问题的能力，涉及到三角函数的计算，难度偏难．

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（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．