Question

已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，DC=

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BC，DN∥CM，交边AC于点N．
（1）求证：MN∥BC；
（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）此题又有两种证法：
证法一：取边BC的中点E，连接ME，利用已知条件求证△MEC≌△NCD．可得CM=DN，又利用CM∥DN，
可证四边形MCDN是平行四边形即可．
证法二：延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．由CD=

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BC，CD=DF，可得BC=CF，再利用MC∥DN，可得ND∥AF，再利用CD=DF，可证MN∥BC即可．
（2）根据MN∥BD，BM与DN不平行，可得四边形BDNM是梯形，再利用∠ACB=90°，可得CM=BM=AM，然后即可证明四边形BDNM是等腰梯形．

解答：（1）证法一：取边BC的中点E，连接ME．
∵M是边AB的中点，
∴BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．
∴∠MEC=∠NCD．
∵CD=

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BC，∴CD=CE．
∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．
∴△MEC≌△NCD．
∴CM=DN．
又∵CM∥DN，
∴四边形MCDN是平行四边形．
∴MN∥BC．
证法二：延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．
∵CD=

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BC，CD=DF，
∴BC=CF．
∵BM=AM，
∴MC∥AF．
∵MC∥DN，
∴ND∥AF．
又∵CD=DF，
∴CN=AN．
∴MN∥BC．

（2）答：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．
证明：∵MN∥BD，BM与DN不平行，
∴四边形BDNM是梯形，
∵∠ACB=90°
M是边AB的中点，
∴BM=AM，
∵CM是Rt△ABC的中线，
∴CM=BM=AM，
∵CM=DN，
∴BM=DN，
∴四边形BDNM是等腰梯形．

点评：此题主要考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，综合性较强，是一道典型的题目．