Question

已知方程x³-（1+2•3^m）x²+（5ⁿ+2•3^m）x-5ⁿ=0．
（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数；
（3）证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数．

Answer 1

分析：（1）若n=m=0，则方程化为x³-3x²+3x-1=0，即（x-1）³=0．求解即可；
（2）设方程x²-2•3^mx+5ⁿ=0的两个解为x₁，x₂．根据公式法求得后，再确定m，n的值；
（3）设9^m-5ⁿ=k²（其中k为整数），有9^m-k²=5ⁿ，即（3^m-k）（3^m+k）=5ⁿ，再设

3m-k=5i 3m+k=5j

（其中i+j=n，i，j为非负整数），因此2•3^m=5^j（5^j-i+1），可得到2•3^m=5ⁿ+1，然后讨论m，n的取值．

解答：解：（1）若n=m=0，则方程化为x³-3x²+3x-1=0，即（x-1）³=0．
所以x₁=x₂=x₃=1．

（2）方程化为（x-1）（x²-2•3^mx+5ⁿ）=0
设方程x²-2•3^mx+5ⁿ=0的两个解为x₁，x₂．
则x1，2=

2•3m± 4•9m-4•5n

2

=3m±

9m-5n

．
当m=n=1时，方程的三个根均为整数；

（3）设9^m-5ⁿ=k²（其中k为整数）
所以9^m-k²=5ⁿ，即（3^m-k）（3^m+k）=5ⁿ，
不妨设

3m-k=5i 3m+k=5j

（其中i+j=n，i，j为非负整数），
因此：2•3^m=5^j（5^j-i+1），
又∵5不能整除2•3^m，
∴i=0，因此有2•3^m=5ⁿ+1，
要使三根均为整数，则只有一组正整数m=n=1，此时x₁=x₂=1，x₃=5．

点评：此题运用了立方差公式和公式法，（3）的难度较大，注意分类讨论．