Question

19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E得度数．
（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β＞α），求∠E得大小．（用含α、β的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由∠B=35°，∠ACB=85°，根据三角形内角和等于180°，可得∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，从而可得∠DAC的度数，进而求得∠ADC的度数，由PE⊥AD，可得∠DPE的度数，从而求得∠E的度数．
（2）根据第一问的推导，可以用含α、β的代数式表示∠E．

解答 解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∠B+∠ACB+∠BAC=180°．
∴∠BAC=60°．
∵AD平分∠BAC．
∴∠DAC=30°．
∵∠ACB=85°，∠ACB+∠DAC+∠PDE=180°．
∴∠PDE=65°．
又∵PE⊥AD．
∴∠DPE=90°．
∵∠PDE+∠DPE+∠E=180°．
∴∠E=25°．
（2））∵∠B=α，∠ACB=β，∠B+∠ACB+∠BAC=180°．
∴∠BAC=180°-α-β．
∵AD平分∠BAC．
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-α-β）．
∵∠ACB=β，∠ACB+∠DAC+∠PDE=180°．
∴∠PDE=180°-β-$\frac{1}{2}$（180°-α-β）=90°$+\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$．
又∵PE⊥AD．
∴∠DPE=90°．
∵∠PDE+∠DPE+∠E=180°．
∴∠E=180°-90°-（90°$+\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$）=$\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$．

点评 本题主要考查三角形的内角和的应用，关键是可以根据题意，灵活变化，最终求出所要求的问题的答案．