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    6．矩形ABCD周长为20，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：
    （1）如图1，当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点O除外）时，证明△PAC≌△PDB；
    （2）如图2，当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；
    （3）如图3，若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点P为对角线交点，且在反比例函数y=$\frac{10}{x}$上，求这个矩形的长和宽．

    分析 （1）先由线段的垂直平分线得出PA=PD，PB=PC，∠APN=∠DPN，∠BPN=∠CPN，进而得出∠APC=∠DPB即可；
    （2）先利用勾股定理得出PA2=AK2+PK2，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=DG2+PG2，再判断出四边形ADGK是矩形，得出AK=DG，CG=BK，最后用等量代换即可得出结论；
    （3）先根据点P在反比例函数图象上得出xy=10，再由矩形的周长得出x+y=7，联立方程组即可得出结论．

    解答 解：（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
    ∵MN是BC的垂直平分线，
    ∴MN也是AD的垂直平分线，
    ∴PA=PD，∠APN=∠DPN，
    ∵MN是BC的垂直平分线，
    ∴PB=PC，∠BPN=∠CPN，
    ∴∠APC=∠DPB，
    在△PAC和△PDB中，$\left\{\begin{array}{l}{PA=PD}\\{∠APC=∠DPB}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
    ∴△PAC≌△PDB；

    （2）证明：过点P作KG∥BC，如图（1）
    ∵四边形ABCD是矩形，

    ∴AB⊥BC，DC⊥BC，
    ∴AB⊥KG，DC⊥KG，
    ∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2，
    同理，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=DG2+PG2，PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，
    PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2．
    ∵AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，
    ∴四边形ADGK是矩形，
    ∴AK=DG，
    同理CG=BK，
    ∴AK2=DG2，CG2=BK2，
    ∴PA2+PC2=PB2+PD2 

    （3）如图（2），设P（x，y），
    ∵点P为对角线交点，且在反比例函数$y=\frac{10}{x}$ 上，
    ∴xy=10①，
    ∵矩形ABCD周长为20，点B的坐标为（1，1），
    ∴（x-1）+（y-1）=5，
    ∴x+y=7②，
    联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$
    ∴BC=2（x-1）=2或8，AB=2（y-1）=8或2．
    即：矩形的长为8，宽为2．

    点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，勾股定理，反比例函数的性质，解（1）的关键是判断出∠APC=∠DPB，解（2）的关键是构造直角三角形，
    解（3）的关键是建立关于点P的纵横坐标的方程组，是一道中等难度的中考常考题．

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