【题目】如图,抛物线(,b是常数,且≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.并且A,B两点的坐标分别是A(-1,0),B(3,0)
(1)①求抛物线的解析式;②顶点D的坐标为_______;③直线BD的解析式为______;
(2)若P为线段BD上的一个动点,其横坐标为m,过点P作PQ⊥x轴于点Q,求当m为何值时,四边形PQOC的面积最大?
(3)若点M是抛物线在第一象限上的一个动点,过点M作MN∥AC交轴于点N.当点M的坐标为_______时,四边形MNAC是平行四边形.
【答案】(1)①;②(1,4);③;(2)当时,S最大值=;(3)(2,3)
【解析】
(1)①把点A、点B的坐标代入,求出,b即可;②根据顶点坐标公式求解;③设直线BD的解析式为,将点B、点D的坐标代入即可;
(2)求出点C坐标,利用直角梯形的面积公式可得四边形PQOC的面积s与m的关系式,可求得面积的最大值;
(3)要使四边形MNAC是平行四边形只要即可,所以点M与点C的纵坐标相同,由此可求得点M坐标.
解:(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入,得
解得
∴
②当时,
所以顶点坐标为(1,4)
③设直线BD的解析式为,将点B(3,0)、点D(1,4)的坐标代入得
,解得
所以直线BD的解析式为
(2)∵点P的横坐标为m,则点P的纵坐标为.
当时,
∴C(0,3).
由题意可知:
OC=3,OQ=m,PQ=.
∴s=
=
=.
∵-1<0,1<<3,
∴当时,s最大值=
如图,MN∥AC,要使四边形MNAC是平行四边形只要即可.
设点M的坐标为,
由可知点
解得或0(不合题意,舍去)
当点M的坐标为(2,3)时,四边形MNAC是平行四边形.
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【题目】如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是_____.
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【题目】如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是_____.
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【题目】如图在矩形ABCD中,AB=,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,连接A1C,设A1C的中点为Q,当点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动,点Q的运动路径长为( )
A.πB.πC.πD.π
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点P,使得∠APB=∠ACO成立?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由.
(3)我们规定:对于直线l1:y=k1x+b,直线l2:y=k2x+b2,若直线k1k2=﹣1,则直线l1⊥l2;反过来也成立.请根据这个规定解决下列可题:
如图2,将该抛物线向上平移过原点与直线y=kx(k>0)另交于C点.点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TM⊥OC′,重足为点M,且M在线段OC′上(不与O、C′重合),过点T作直线TN∥y轴交OC'于点N.若在点T运动的过程中,为常数,试确定k的值.
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【题目】某大型商场出售一种时令鞋,每双进价100元,售价300元,则每月能售出400双.经市场调查发现:每降价10元,则每天可多售出50双.设每双降价x元,每天总获利y元.
(1)如果降价40元,每天总获利多少元呢?
(2)每双售价为多少元时,每天的总获利最大?最大获利是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,M、N、C三点的坐标分别为(,1),(3,1),(3,0),点A为线段MN上的一个动点,连接AC,过点A作AB⊥AC交y轴于点B,当点A从M运动到N时,点B随之运动,设点B的坐标为(0,b),则b的取值范围是( )
A.≤b≤1B.≤b≤1C.≤b≤D.≤b≤1
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求证:4DE2=CDAC.
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【题目】八(1)班为了配合学校体育文化月活动的开展,同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍和跳绳。已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元。若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳,则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半。
(1)求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元?
(2)双11期间,商店老板给予优惠,购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳,如果八(1)班需要的跳绳根数比羽毛球拍的副数的倍还多,且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过元,那么八(1)班最多可购买多少副羽毛球拍?
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