Question

下列命题：①若x²=2010×2012+1，则x=2011；②若xy＜0，且+（x+1）²=0，则a＞-1；③若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为6；④已知方程ax²+bx+c=0（a＞b＞c）的一个根为1，则另一个根k的取值范围是-2＜k＜-．
其中正确的命题的序号为________．

Answer 1

②③④
分析：①把2010看作2011-1，2012看作2011+1，然后利用平方差公式化简合并后，开方即可求出x的值，即可得到本命题的真假；
②根据两非负数的和为0，得到两非负数同时为0，即可求出a与y的关系式及x的值，根据xy＜0，即可求出a的取值范围，即可判断本命题的真假；
③设出此梯形的上底与下底，然后根据勾股定理列出方程，根据上下底都为整数，即可得到上下底的值，进而求出梯形的高，即可判断本命题的真假；
④根据方程的一个解为1，代入方程得到a+b+c=0，又a＞b＞c，得到a一定大于0，而方程的另外一个根为k，则方程化为a（x-1）（x-k）=0，化简后分别用a表示出b和c，利用a＞b＞c列出关于k与a的不等式，当a大于0，即可得到k的取值范围．
解答：①x²=2010×2012+1=（2011-1）（2011+1）+1=2011²-1+1=2011²，
开方得：x=±2011，本命题为假命题；
②由+（x+1）²=0，得到a-2y+1=0且x+1=0，
解得：x=-1＜0，y=，又xy＜0，
所以得到＞0，
解得a＞-1，本命题为真命题；
③设此直角梯形的上下底分别为x与y，高为z，
根据勾股定理得：11²-x²=9²-y²=z²，
所以x²-y²=40，即（x+y）（x-y）=40，
因为x与y为整数，所以当x+y=20，x-y=2时，联立解得x=11，y=9，代入得z=0，舍去；
当x+y=10，x-y=4时，联立解得x=7，y=3．
所以此直角梯形的上底为3，下底为7，高Z===6，本命题正确；
④因为方程的一根为1，另一根为k，
把x=1代入方程得：a+b+c=0，又因为a＞b＞c，
所以a＞0，
则方程可化为a（x-1）（x-k）=0，
化简得：ax²-a（k+1）x+ak=0，又方程ax²+bx+c=0，
得到b=-ak-a，c=ak，又a＞b＞c，
所以有-ak-a＞ak，且由a＞-ak-a，
当a＞0时，解得：-2＜k＜-；
所以，方程另一根的取值范围是：-2＜k＜-，本命题正确．
故正确答案为序号有：②③④．
故答案为：②③④
点评：此题考查学生灵活运用平方差公式化简求值，掌握两非负数之和为0时的条件，是一道综合题．