Question

14．如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴交于A，与y轴交于点B，求：
（1）△AOB面积=1；
（2）△AOB内切圆半径=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
（3）点C在第二象限内且为直线AB上一点，OC=$\frac{1}{2}AB$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数的解析式分别求出A、B的坐标后，即可求出OB、OA的长度，从而可求出△AOB的面积；
（2）设△AOB内切圆的圆心为M，⊙M与OA、OB、AB分别切于E、F、G，连接OE、OF，利用切线长定理可知BF=BG，AE=AG，设半径为r，利用AG+BG=AB列出方程即可求出r的值；
（3）利用AB的长度求出OC的长度，过点C作CD⊥x轴于点D，设点C（a，-$\frac{1}{2}$a+1），利用勾股定理即可求出a的值，从而求出点C的坐标，将点C代入y=$\frac{k}{x}$即可求出k的值．

解答 解：（1）令x=0代入y=-$\frac{1}{2}$a+1
∴y=1，
∴OB=1，
令y=0代入y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴x=2，
∴OA=2，
S=$\frac{1}{2}$OA•OB=1；

（2）设△AOB内切圆的圆心为M，
⊙M与OA、OB、AB分别切于E、F、G，
连接OE、OF，如图1，
∵∠OEM=∠MFO=∠FOE=90°，
∴四边形MFOE是矩形，
∵ME=MF，
∴矩形MFOE是正方形，
设⊙M的半径为r，
∴MF=ME=r，
由切线长定理可知：BF=BG=1-r，
AE=AG=2-r，
由勾股定理可求得：AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AG+BG=AB，
2-r+1-r=$\sqrt{5}$，
∴r=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；

（3）过点C作CD⊥x轴于点D，如图2，
∵OC=$\frac{1}{2}$AB，
∴OC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵点C在直线AB上，
∴设C（a，-$\frac{1}{2}$a+1）（a＜0），
∴OD=a，CD=-$\frac{1}{2}$a+1，
由勾股定理可知：CD²+OD²=OC²，
∴a²+（-$\frac{1}{2}$a+1）²=$\frac{5}{4}$，
∴a=-$\frac{1}{5}$或a=1（舍去）
∴C的坐标为（-$\frac{1}{5}$，$\frac{11}{10}$），
把C（-$\frac{1}{5}$，$\frac{11}{10}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-$\frac{11}{50}$．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及函数的性质，直角三角形内切圆的性质，待定系数法求解析式等知识，需要学生灵活运用所学知识进行解答，综合性较强．