Question

25、附加题：如图所示，已知，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B．
求证：AE与⊙O相切于点A．

Answer 1

分析：要证明AE与⊙O相切于点A，即证明∠BAE=90°，由AB为直径，得到∠ACB=90°，即∠BAC+∠B=90，又∠CAE=∠B，所以∠BAC+∠CAE=90°．

解答：证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90，
又∵∠CAE=∠B，
∴∠BAC+∠CAE=90°，
即∠BAE=90°，
所以AE与⊙O相切于点A．

点评：本题考查了圆的切线的判定方法．若直线与圆有唯一的公共点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．也考查了圆的直径所对的圆周角为90度．