Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；
（3）若点D在线段BO上，OD=2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）先求出OB和AB的长，根据勾股定理的逆定理证明∠ABO=90°，由对称计算∠QCB=60°，利用特殊的三角函数列式可得BQ的长；
（3）因为D在OB上，所以F分两种情况：
i）当F在边OA上时，ii）当点F在AB上时，
当F在边OA上时，分三种情况：
①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，则E、F在OA上，②如图3，作辅助线，构建△OFD≌△EDF≌△FGE，③如图4，将△DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，当点F在OB上时，过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，依次求出点E的坐标即可．

解答 解：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：-$\frac{1}{2}$×4²+4b=0，解得b=2，
∴二次函数的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x．
（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∴B（2，2），抛物线的对称轴为x=2．
如图1所示：
由两点间的距离公式得：OB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BA=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵C是OB的中点，
∴OC=BC=$\sqrt{2}$．
∵△OB′C为等边三角形，
∴∠OCB′=60°．
又∵点B与点B′关于CQ对称，
∴∠B′CQ=∠BCQ=60°．
∵OA=4，OB=2$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，
∴OB²+AB²=OA²，
∴∠OBA=90°．
在Rt△CBQ中，∠CBQ=90°，∠BCQ=60°，BC=$\sqrt{2}$，
∴tan60°=$\frac{BQ}{BC}$，
∴BQ=$\sqrt{3}$CB=$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
（3）分两种情况：
i）当F在边OA上时，
①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵△DOF≌△DEF，且E在线段OA上，
∴OF=FE，
由（2）得：OB=2$\sqrt{2}$，
∵点D在线段BO上，OD=2DB，
∴OD=$\frac{2}{3}$OB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵∠BOA=45°，
∴cos45°=$\frac{OF}{OD}$，
∴OF=OD•cos45°=$\frac{4\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{3}$，
则OE=2OF=$\frac{8}{3}$，
∴点E的坐标为（$\frac{8}{3}$，0）；
②如图3，过D作DF⊥x轴于F，过D作DE∥x轴，交AB于E，连接EF，过E作EG⊥x轴于G，
∴△BDE∽△BOA，
∴$\frac{BD}{OB}=\frac{DE}{OA}$=$\frac{1}{3}$，
∵OA=4，
∴DE=$\frac{4}{3}$，
∵DE∥OA，
∴∠OFD=∠FDE=90°，
∵DE=OF=$\frac{4}{3}$，DF=DF，
∴△OFD≌△EDF，
同理可得：△EDF≌△FGE，
∴△OFD≌△EDF≌△FGE，
∴OG=OF+FG=OF+DE=$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，EG=DF=OD•sin45°=$\frac{4}{3}$，
∴E的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
③如图4，将△DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，
过B作BM⊥x轴于M，过E作EN⊥BM于N，
由翻折的性质得：△DOF≌△DEF，
∴OD=DE=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵BD=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{D{E}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
则BN=NE=BE•cos45°=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
OM+NE=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，BM-BN=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点E的坐标为：（2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
ii）当点F在AB上时，
过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，
∵DF∥x轴，
∴△BDF∽△BOA，
∴$\frac{BD}{BO}=\frac{BF}{BA}$，
由抛物线的对称性得：OB=BA，
∴BD=BF，
则∠BDF=∠BFD，∠ODF=∠AFD，
∴OD=OB-BD=BA-BF=AF，
则△DOF≌△DAF，
∴E和A重合，则点E的坐标为（4，0）；
综上所述，点E的坐标为：（$\frac{8}{3}$，0）或（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）或（2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（4，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、三角形全等和相似的性质和判定、特殊的三角函数、等边三角形，第三问有难度，正确画图是关键，要采用分类讨论的思想，注意不要丢解．