Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为线段AB上一动点（与点A，B均不重合），过点P作MN∥BC并交AC于点M，交EF于点N，作PD⊥PC，交直线EF于点D．
（1）若点D在线段NB上（如图1）求证：△PCM≌△DPN；
（2）若点D在线段NB延长线上（如图2）且BP=BD，求AP的长；
（3）设AP=x，且P、C、D、B为顶点的四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，
∴AC∥EF．
又∵MN∥BC，
∴四边形MCBN是矩形，
∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠PBN=∠NPB=45°，
∴NP=NB．
∴MC=NP．
又∵PD⊥PC，
∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．
在△PCM与△DPN中，，
∴△PCM≌△DPN（ASA）；

解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．
∴AB=．
同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．
∵∠A=∠PBN=45°，
∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，
∴AM=PM，PN=NB，
∴AP=AM，BP=BN=MC．
∵BP=BD，
∴ND=NB+BD=MC+MC=MP=AM，即1-AM+（1-AM）=AM，
解得，AM=，
∴AP=AM=1；

（3）①若点D在线段NB上（如图1），S_{四边形PCBD}=S_矩形MCBN-2S_△PMC=1×（1-x）-2××（1-x）×x=x²x+1，即y=x²x+1；
②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．
S_{四边形PCBD}=S_梯形MCDN-S_△PMC-S_△PNB=（MC+AM）•BC-AM•MC-MC•MC=×1×1-×
x×（1-x）-（1-x）（1-x）=x，即y=x．

分析：（1）易知四边形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的对边MC=NB．等腰直角△PNB的两直角边PN=NB，即PN=CM；然后根据同角的余角相等证得∠MCP=∠NPB；最后由全等三角形的判定定理ASA证得△PCM≌△DPN；
（2）易知四边形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根据全等三角形（△MCP≌△NDP）的对应边相等、勾股定理来求线段AP的长度．
（3）需要分类讨论：若点D在线段NB上（如图1），写出y与x的函数关系式；若点D在线段NB延长线上（如图2），写出y与x的函数关系式．
点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．