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    9．已知点A（-1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
    （3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒$\sqrt{2}$
    个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．

    分析 （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
    （2）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，再根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线AE（FH）的解析式，由此可证出FH∥AE；
    （3）根据点A、B的坐标利用待定系数法，可求出直线AB的解析式，进而可找出点P、Q的坐标，分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑，借助相似三角形的性质可得出点M的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．

    解答 解：（1）将点A（-1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，
    $\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{16a+4b=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{2}$x．

    （2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，
    将点A（-1，1）代入y=kx+m中，即-k+m=1，
    ∴k=m-1，
    ∴直线AF的解析式为y=（m-1）x+m．
    联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
    $\left\{\begin{array}{l}{y=（m-1）x+m}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2m}\\{{y}_{2}=2{m}^{2}-m}\end{array}\right.$，
    ∴点G的坐标为（2m，2m2-m）．
    ∵GH⊥x轴，
    ∴点H的坐标为（2m，0）．
    ∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x（x-1），
    ∴点E的坐标为（1，0）．
    设直线AE的解析式为y=k1x+b1，
    将A（-1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，
    $\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+{b}_{1}=1}\\{{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴直线AE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
    设直线FH的解析式为y=k2x+b2，
    将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，
    $\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=m}\\{2m{k}_{2}+{b}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{2}=m}\end{array}\right.$，
    ∴直线FH的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+m．
    ∴FH∥AE．

    （3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，
    将A（-1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，
    $\left\{\begin{array}{l}{{-k}_{0}+{b}_{0}=1}\\{4{k}_{0}+{b}_{0}=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{0}=1}\\{{b}_{0}=2}\end{array}\right.$，
    ∴直线AB的解析式为y=x+2．
    当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t-2，t），点Q的坐标为（t，0）．
    当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．
    ∵QM=2PM，
    ∴$\frac{QM′}{QP′}$=$\frac{MM′}{PP′}$=$\frac{2}{3}$，
    ∴QM′=$\frac{4}{3}$，MM′=$\frac{2}{3}$t，
    ∴点M的坐标为（t-$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$t）．
    又∵点M在抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{2}$x上，
    ∴$\frac{2}{3}$t=$\frac{1}{2}$×（t-$\frac{4}{3}$）2-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{4}{3}$），
    解得：t=$\frac{15±\sqrt{113}}{6}$；
    当点M在线段QP的延长线上时，
    同理可得出点M的坐标为（t-4，2t），
    ∵点M在抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{2}$x上，
    ∴2t=$\frac{1}{2}$×（t-4）2-$\frac{1}{2}$（t-4），
    解得：t=$\frac{13±\sqrt{89}}{2}$．
    综上所述：当运动时间为$\frac{15-\sqrt{113}}{6}$秒、$\frac{15+\sqrt{113}}{6}$秒、$\frac{13-\sqrt{89}}{2}$秒或$\frac{13+\sqrt{89}}{2}$秒时，QM=2PM．

    点评 本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的三种形式、相似三角形的性质以及两条直线相交或平行，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，求出抛物线的解析式；（2）根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，求出直线AE（FH）的解析式：（3）分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况，借助相似三角形的性质找出点M的坐标．

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