分析 (1)根据三角形的中位线定理和菱形的判定,可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形;
(2)根据菱形的性质得到EG⊥HF,且EG=2OE,FH=2OH,在Rt△OEH中,根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=4,再根据等式的性质,在等式的两边同时乘以4,根据4=22,把等式进行变形,并把EG=2OE,FH=2OH代入变形后的等式中,即可求出EG2+FH2的值.
解答 (1)证明:∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点,
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线,EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线,
根据三角形的中位线的性质知,EH=FG=$\frac{1}{2}$BD,EF=HG=$\frac{1}{2}$AC,
又∵AC=BD,
∴EH=FG=EF=HG,
∴四边形EFGH是菱形;
(2)解:由(1)知,四边形EFGH是菱形,则EG⊥FH,EG=2OE,FH=2OH,
在Rt△OEH中,根据勾股定理得:OE2+OH2=EH2=4,
等式两边同时乘以4得:4OE2+4OH2=4×4=16,
∴(2OE)2+(2OH)2=16,
即EG2+FH2=16.
点评 此题主要考查了三角形中位线定理和菱形的判定方法,题目比较典型,又有综合性,难度不大.
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