【题目】如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于O,MN过点O且与BC平行.△ABC的周长为20,△AMN的周长为12,则BC的长为( )
A. 10 B. 16 C. 8 D. 4
【答案】C
【解析】
由BO为角平分线,得到一对角相等,再由MN平行于BC,利用两直线平行内错角相等,得到一对角相等,等量代换可得出∠MBO=∠MOB,利用等角对等边得到MO=MB,同理得到NO=NC,而三角形ABC的周长等于三边相加,即AB+BC+AC,其中AB=AM+MB,AC=AN+NC,等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和,即BC等于两三角形的周长之差,将两三角形的周长代入,即可求出BC的长.
解:∵OB平分∠MBC,
∴∠MBO=∠OBC,
又MN∥BC,
∴∠MOB=∠OBC,
∴∠MOB=∠MBO,
∴MB=MO,同理可得∠NOC=∠NCO,
∴NO=NC,
∴(AB+AC+BC)-(AM+AN+MN)
=(AM+MB+AN+NC+BC)-(AM+AN+MN)
=(AM+MO+AN+NO+BC)-(AM+AN+MN)
=(AM+AN+MN+BC)-(AM+AN+MN)
=BC,
又∵△ABC的周长为20,△AMN的周长为12,即AB+AC+BC=20,AM+AN+MN=12,
则BC=20-12=8.
故选:C.
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【题目】某手机专营店代理销售A、B两种型号手机.手机的进价、售价如下表:
型号 | A | B |
进价 | 1800元/部 | 1500元/部 |
售价 | 2070元/部 | 1800元/部 |
(1)第一个月:用54000元购进A、B两种型号的手机,全部售完后获利9450元,求第一个月购进A、B两种型号手机的数量;
(2)第二个月:计划购进A、B两种型号手机共34部,且不超出第一个月购进A、B两种型号的手机总费用,则A型号手机最多能购多少部?
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【题目】如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D、F,∠2+∠3=180°,试说明:∠GDC=∠B.请补充说明过程,并在括号内填上相应的理由.
解:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90° ,
∴EF∥AD( ),
∴ +∠2=180°( ).
又∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠1=∠3( ),
∴AB∥ ( ),
∴∠GDC=∠B( ).
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【题目】如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s。
⑴连接AQ、CP交于点M,在点P、Q运动的过程中,∠CMQ的大小变化吗?若变化,则说明理由,若不变,请直接写出它的度数;
⑵点P、Q在运动过程中,设运动时间为t,当t为何值时,△PBQ为直角三角形?
⑶如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ的大小变化吗?则说明理由;若不变,请求出它的度数。
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【题目】如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,当EF+CF取得最小值时,∠ECF的度数为( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,若P,Q为某个菱形相邻的两个顶点,且该菱形的两条对角线分别与x轴,y轴平行,则称该菱形为点P,Q的“相关菱形”.图1为点P,Q的“相关菱形”的一个示意图.
已知点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(b,0),
(1)若b=3,则R(﹣1,0),S(5,4),T(6,4)中能够成为点A,B的“相关菱形”顶点的是;
(2)若点A,B的“相关菱形”为正方形,求b的值;
(3)⊙B的半径为 ,点C的坐标为(2,4).若⊙B上存在点M,在线段AC上存在点N,使点M,N的“相关菱形”为正方形,请直接写出b的取值范围.
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【题目】在边长为5的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,DC边上的两个动点(不与点B,C,D重合),且AE⊥EF.
(1)如图1,当BE=2时,求FC的长;
(2)延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P.
①依题意将图2补全;
②小京通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有AE=PE.小京把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的三种想法:
想法1:在AB上截取AG=EC,连接EG,要证AE=PE,需证△AGE≌△ECP.
想法2:作点A关于BC的对称点H,连接BH,CH,EH.要证AE=PE,需证△EHP为等腰三角形.
想法3:将线段BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM,EM,要证AE=PE,需证四边形MCPE为平行四边形.
请你参考上面的想法,帮助小京证明AE=PE.(一种方法即可)
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