Question

如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法中：①AD=BD；②∠ACB=∠AOE；③AE=BE；④OD=DE，其中正确的序号有

 

．

Answer 1

分析：由AB为圆的直径，且与OD垂直，根据垂径定理得到D为AB中点，且E为弧AB的中点，即弧AE等于弧BE，由D为AB中点得到AD=BD，故选项①正确；由等弧对等弦得到AE=BE，故选项③正确；再由等弧对等角得到∠AOE=∠BOE=

1

2

∠AOB，又根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，得到∠ACB=

1

2

∠AOB，等量代换即可得到∠ACB=∠AOE，故选项②正确；若OD=DE，即可得到OD等于半径OA的一半，根据直角三角形中一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角为30°，而原题没有此条件，故选项④错误．

解答：解：∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，
∴D为AB的中点，且

AE

=

BE

，
∴AD=BD，选项①正确；
∴AE=BE（等弧对等弦），选项③正确；
∵

AE

=

BE

，
∴∠AOE=∠BOE=

1

2

∠AOB，
又∵圆心角∠AOB和圆周角∠ACB都对

AB

，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB，
∴∠AOE=∠ACB，选项②正确；
若OD=DE，得到OD=

1

2

OE=

1

2

OA，又△ADO为直角三角形，
∴∠OAD=30°，题中没有此条件，选项④错误，
综上，正确的选项有①②③．
故答案为：①②③

点评：此题考查了垂径定理，以及圆周角定理，垂径定理可理解为：如果一条直线满足：过圆心、平分弦、垂直弦、平分优弧、平分劣弧这五个结论中的任两个，其余三个结论一定成立，对圆周角和圆心角进行相互转换是处理圆周角、圆心角问题时常用的方法，同时注意同圆或等圆中，弧、弦及圆心角，若一组对应量相等，其余两对对应量也相等．