Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于A，与y轴交于B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕BC所在直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用直线解析式，容易求得A、B的坐标；
（2）作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P，则P点即为所求，可求得E点坐标，则容易求得P点坐标；
（3）可设C（t，0），由折叠的性质可得到CD=t，AC=4-t，在Rt△ACD中，由勾股定理可得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式．

解答 解：
（1）在y=-x+4中，令x=0可得y=4，令y=0可求得x=4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）如图1，作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P，

则OP=PA，即P点即为满足条件的点，
∵OA=4，
∴OE=2，
在y=-x+4中，当x=2时，可得y=2，
∴P点坐标为（2，2）；
（3）如图2，

设C（t，0），则AC=OA-OC=4-t，
∵OA=OB=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
由折叠的性质可得BD=OB=4，CD=OC=t，∠ADC=∠BOC=90°，
∴AD=AB-BD=4$\sqrt{2}$-4，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC²=AD²+CD²，即（4-t）²=t²+（4$\sqrt{2}$-4）²，解得t=4$\sqrt{2}$-4，
∴C（4$\sqrt{2}$-4，0），
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{（4\sqrt{2}-4）k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1-\sqrt{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴折痕BC的解析式为y=-（1+$\sqrt{2}$）x+4．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、待定系数法、方程思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中求得C点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．