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    3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．
    （1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF=2，求DF的长；
    （2）如图2，若BE=BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
    （3）如图3，若AB=4，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

    分析 （1）先判断出BF=CF=2，进而求出CD=4，再在Rt△CDG中求出CG，DG，最后在Rt△DFG中用勾股定理即可得出结论；
    （2）构造全等三角形得出DH=AE，AG=HG，再依次判断出△AFC≌△AHD，△ABF≌△ACH即可得出△AFH是等边三角形即可得出结论；
    （3）当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP=CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，则BP=PE=ED=$\frac{1}{3}$BD．

    解答 解：（1）如图1，
    ∵AF⊥BC，
    ∴∠AFB=90°，
    ∵E为AB的中点，
    ∴AE=BE，
    ∴EF=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
    ∵∠ABC=60°，
    ∴BF=EF=$\frac{1}{2}$BC，
    ∴CF=EF=2，
    过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，
    在Rt△CDG中，DCG=180°-∠BCD=60°，
    ∴∠CDG=30°，CG=$\frac{1}{2}$CD=2，DG=$\sqrt{3}$CG=2$\sqrt{3}$，
    ∴FG=CF+CG=4，
    在Rt△DFG中，DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
    （2）如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，
    ∵AB∥CD，
    ∴∠AEG=∠HDG，
    ∵G为DE的中点，
    ∴EG=DG，
    在△AEG和△DHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠HDG}\\{EG=DG}\\{∠AGE=∠HGD}\end{array}\right.$，
    ∴△AEG≌△DHG，
    ∴AG=HG，AE=DH，
    ∵AB=BC=CD，BE=BF，
    ∴FC=DH，BF=CH，
    在△AFC和△AHD中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=DH}\\{∠ACF=∠ADH=60°}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
    ∴△AFC≌△AHD，
    ∴AH=AF，
    同理：△ABF≌△ACH，
    ∴∠BAF=∠CAH，
    ∴∠FAH=∠FAC+∠CAH=∠FAC+∠BAF=∠BAC=60°，
    ∴△AFH是等边三角形，
    ∵AG=HG，
    ∴AG⊥FG．
    （3）先说明为什么四点共线时，PA+PB+PC最小．

    如图a，

    在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．
    以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD
    ∵旋转60°，且BD=BP，
    ∴△DBP 为一个等边三角形
    ∴PB=PD
    ∴PA+PB+PC=DE+PD+PC
    ∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小．


    如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
    ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，
    ∴△APC≌△DGC，
    ∴CP=CG，∠PCG=60°，
    ∴△PCG是等边三角形，
    ∴PG=CE=CP，∠GPC=∠CGP=60°．
    ∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
    ∴∠PCB=∠GPC-∠CBP=60°-∠30°=30°，
    ∴∠PCB=∠CBP=30°，
    ∴BP=CP，
    同理，DE=CG，
    ∴BP=PG=GD．
    连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
    在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，
    ∴BO=BC•cos∠OBC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
    ∴BD=2BO=4$\sqrt{3}$，
    ∴BP=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
    即当PA+PB+PC值最小时PB的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，最小值的线段是解题的关键也是难点．

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    （2）若直线l分别与x轴、y轴交于E、F两点，并且A为EF的中点，试确定l的解析式．
    （3）在双曲线上另取一点B，作BK⊥x轴于K，将（2）中的直线l绕点A旋转后所得的直线记为l′，若l′与y轴的正半轴交于点C，且OC=$\frac{1}{4}$OF，试问，在y轴上是否存在点P，使得S△PCA=S△BOK？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    （1）12-（-5）-（-18）+（-5）
    （2）-6.5+4$\frac{1}{4}$+8$\frac{3}{4}$-3$\frac{1}{2}$
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    加数的个数n连 续 偶 数 的 和 S
    12=1×2
    22+4=6=2×3
    32+4+6=12=3×4
    42+4+6+8=20=4×5
    52+4+6+8+10=30=5×6
    ……
    （1）如果n=7时，那么S的值为56；
    （2）根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S的公式为 S=2+4+6+8+…+2n=n（n+1）；
    （3）根据上题的规律计算32+34+36+…+398+400的值（要有计算过程）．

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