Question

6．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D在AB的延长线上，CA=CD，∠ACD=120°，BD=10．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，证得∠OCD=90°，即可证得CD是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形有一个角是30度，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得OB=BD．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CA=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠COD=2∠A=2×30°=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）由（1）得：∠OCD=90°，
在直角△OCD中，∵∠D=30°，
∴OD=2OC，
∵OC=OB，
∴OD=2OB，
∴OB=BD=10，
∴⊙O的半径是10．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，直角三角形的性质，切线的判定定理，难度适中．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．