Question

3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）、点B（4，0），且与y轴交于点C．
（1）求二次函数解析式；
（2）若点D在y轴上，以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）若点E位于x轴上方的抛物线上，且∠EBC=∠OAC，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）、点B（4，0），根据待定系数法求得二次函数解析式；
（2）先判断∠OCA=∠OBC，再分两种情况进行讨论：①当△DCA∽△ABC时，$\frac{DC}{AC}$=$\frac{AB}{CB}$；②当△ACD∽△ABC时，$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AB}{CB}$，分别求得DC的长，由此得到点D的坐标；
（3）先延长CA，BE，交于点F，根据直线AC：y=2x-2，设F（x，2x-2），再根据△FAB∽FBC，得到FB²=FA•FC，据此列出关于x 方程，求得点F的坐标，最后根据直线BF的解析式以及二次函数解析式，通过解方程组，求得点E的坐标即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）、点B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b-2}\\{0=16a+4b-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；

（2）∵在y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2中，当x=0时，y=-2，
∴点C的坐标为（0，-2），即OC=2，
∵A（1，0）、B（4，0），
∴OA=1，OB=4，AC=$\sqrt{5}$，AB=3，
∴tan∠OCA=tan∠OBC=$\frac{1}{2}$，且BC=2$\sqrt{5}$，
∴∠OCA=∠OBC，
①当△DCA∽△ABC时，$\frac{DC}{AC}$=$\frac{AB}{CB}$，
即$\frac{DC}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得DC=$\frac{3}{2}$，
∴OD=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴此时点D的坐标为（0，-$\frac{1}{2}$）；
②当△ACD∽△ABC时，$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AB}{CB}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{DC}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得DC=$\frac{10}{3}$，
∴OD=$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$，
∴此时点D的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）；

（3）如图所示，延长CA，BE，交于点F，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（1，0）、C（0，-2）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴AC：y=2x-2，
设点F的横坐标为x，则纵坐标为2x-2，即F（x，2x-2），
∵A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴BF=$\sqrt{（4-x）^{2}+（2x-2）^{2}}$，AF=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x-2）^{2}}$，FC=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-2+2）^{2}}$，
∵∠BAF=∠OAC=∠FBC，∠F=∠F，
∴△FAB∽FBC，
∴$\frac{FA}{FB}$=$\frac{FB}{FC}$，即FB²=FA•FC，
∴（$\sqrt{（4-x）^{2}+（2x-2）^{2}}$）²=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x-2）^{2}}$×$\sqrt{{x}^{2}+（2x-2+2）^{2}}$，
解得x=$\frac{20}{11}$，
∴F（$\frac{20}{11}$，$\frac{18}{11}$），
设直线BF的解析式为y=mx+n，则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{18}{11}=\frac{20}{11}m+n}\\{0=4m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{8}}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$）．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、运用待定系数法求函数解析式以及两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是运用分类讨论思想进行求解．