Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点是C（0，1），直线l：y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于点M和N．
（1）设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数关系式；
（2）若线段MP与PN的长度之比为3：1，试求抛物线的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线的顶点为C（0，1），因此抛物线的解析式中b=0，c=1．即抛物线的解析式为y=ax²+1．已知了P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2．可根据直线l的解析式求出P点的坐标，然后将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求得a的值，也就能求出直线l的函数关系式．
（2）本题要根据相似三角形来求．已知了线段MP与PN的长度之比为3：1，如果过P作x轴的垂线，根据平行线分线段成比例定理即可得出P点的纵坐标的值．进而可仿照（1）的方法，先代入直线的解析式，然后再代入抛物线中即可求出a的值，也就求出了抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点是C（0，1），
∴b=0，c=1，
∴y=ax²+1．
如图1，∵a＞0，直线l过点N（0，3），
∴M点在x轴正半轴上．
∵点P到x轴的距离为2，
即点P的纵坐标为2．
把y=2代入y=-ax+3
得，x=

1

a

，
∴P点坐标为（

1

a

，2）．
∵直线与抛物线交于点P，
∴点P在y=ax²+1上，
∴2=a•（

1

a

）²+1，
∴a=1．
∴直线l的函数关系式为y=-x+3．

（2）如图1，若点P在y轴的右边，记为P₁
过点P₁作P₁A⊥x轴于A，
∵∠P₁MA=∠NMO，
∴Rt△MP₁A∽Rt△MNO，
∴

P1A

ON

=

MP1

MN

．
∵

MP1

P1N

=

3

1

，
∴MP₁=3P₁N，MN=MP₁+P₁N=4P₁N
∴

MP1

MN

=

3

4

，
即

P1A

ON

=

3

4

，
∵ON=3，
∴P₁A=

9

4

，
即点P₁的纵坐标为

9

4

．
把y=

9

4

代入y=-ax+3，
得x=

3

4a

，
∴点P₁的坐标为（

3

4a

，

9

4

）．
又∵点P₁是直线l与抛物线的交点，
∴点P₁在抛物线y=ax²+1上，
∴

9

4

=a•（

3

4a

）²+1，
∴a=

9

20

．
抛物线的函数关系式为y=

9

20

x²+1．
如图2，若点P在y轴的左边，记为P₂．作P₂A⊥x轴于A，
∵∠P₂MA=∠NMO，
∴Rt△MP₂A∽Rt△MNO，
∴

P2A

NO

=

MP2

MN

．
∵

MP2

P2N

=

3

1

，
∴MP₂=3P₂N，MN=MP₂-P₂N=2P₂N，
∴

MP2

MN

=

3

2

，即

P2A

ON

=

3

2

，
∵ON=3，
∴P₂A=

9

2

，即即点P₂的纵坐标为

9

2

．
由P₂在直线l上可求得P₂（-

3

2a

，

9

2

），
又∵P₂在抛物线上，
∴

9

2

=a•（-

3

2a

）²+1，
∴a=

9

14

．
∴抛物线的函数关系式为y=

9

14

x²+1．

点评：本题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识．