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【题目】如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,EDF=60°,当CE=AF时,如图①小芳同学得出的结论是DE=DF。

(1)继续旋转三角形纸片,当CEAF时,如图②,小芳的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由。

(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图③,请写出DE与DF的数量关系,并加以证明。

(3)连接EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?

【答案】(1)DF=DE.理由见解析;(2)DF=DE.理由见解析;(3),当x=1时,

【解析】1DF=DE.理由如下:

如答图1,连接BD

∵四边形ABCD是菱形,

AD=AB

又∵∠DAB=60°

∴△ABD是等边三角形,

AD=BDADB=60°

∴∠DBE=DAF=60°

∵∠EDF=60°

∴∠ADF=BDE

∵在ADFBDE中,

∴△ADF≌△BDEASA),

DF=DE

2DF=DE.理由如下:
如答图2,连接BD

∵四边形ABCD是菱形,

AD=AB

又∵∠DAB=60°

∴△ABD是等边三角形,

AD=BDADB=60°

∴∠DBE=DAF=60°

∵∠EDF=60°

∴∠ADF=BDE


∵在ADFBDE中,

∴△ADF≌△BDEASA),

DF=DE

3)由(2)知,DE=DF,又∵∠EDF=60°

∴△DEF是等边三角形,

∵四边形ABCD是边长为2的菱形,

DH=

BF=CE=x

AF=x-2

FH=AF+AH=x-2+1=x-1

DF=DG=×

y=SDEF=×EF×DG=×××=x-12+

∴当x=1时,y最小值=

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