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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．
    求证：K是线段MN的中点．
    考点：相似三角形的判定与性质
    专题：证明题
    分析：根据题意，EF截△PMN，则
    NK
    KM
    .
    MF
    FP
    .
    PE
    EN
    =1(1)    ；BC截△PAE，则
    EB
    BA
    .
    AC
    CP
    .
    PN
    NE
    =1(2)    ；所以
    PE
    EN
    =
    2CP+AC
    AC
    (3)    ．而CD截△PMA，则
    FD
    DC
    .
    CA
    AP
    .
    PM
    MF
    =1    ，即
    PM
    MF
    =
    2AP
    AC
    ，∴
    PF
    MF
    =
    2AP-AC
    AC
    (4)    ，因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，
    PE
    EN
    =
    FP
    MF
    ，即
    MF
    FP
    .
    PE
    EN
    =1    ，所以由（1）得NK=KM，即K是线段AM的中点．
    解答：证明：∵EF截△PMN，
    则
    NK
    KM
    .
    MF
    FP
    .
    PE
    EN
    =1(1)
    ∵BC截△PAE，
    则
    EB
    BA
    .
    AC
    CP
    .
    PN
    NE
    =1(2)    ，
    ∴即有
    PN
    NE
    =
    2CP
    AC
    ，
    所以
    PE
    EN
    =
    2CP+AC
    AC
    (3)    ，
    ∵CD截△PMA，
    则
    FD
    DC
    .
    CA
    AP
    .
    PM
    MF
    =1    ，
    即
    PM
    MF
    =
    2AP
    AC
    ，∴
    PF
    MF
    =
    2AP-AC
    AC
    (4)
    因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，
    PE
    EN
    =
    FP
    MF
    ，
    即
    MF
    FP
    .
    PE
    EN
    =1    ，
    所以由（1）得NK=KM，即K是线段MN的中点．
    点评：本题考查了线段截三角形所得的线段的比为定值．以及比例的性质．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    ，此函数的最大值是
     
    ，最小值是
     
    ．

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    小时．

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    ．

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    《数理天地》（初中版）月刊，全年共出12期，每期定价2.50元，某中学初一年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学均改订全年时，共需订费1245元，则该中学初一年级订阅《数理天地》（初中版）的学生共有
     
    人．

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