Question

如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB=CD，直线EF经过四边形ABCD的对角线AC和BD的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：
①BO=OD；②△AOD的周长-△ODC的周长=AD-CD；③AD∥BC；④S_△ABO=

1

2

S_{四边形ABNM}；⑤图中全等的三角形的对数是9对；
其中正确结论的个数是（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：由AB∥CD，根据平行线的性质得∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠DCA，而AB=CD，根据三角形全等的判定方法可证得△ABO≌△CDO，根据全等的性质得OB=OD，于是可判断①正确；由△ABO≌△CDO得到OA=OC，再利用三角形周长的定义可对②进行判断；易证得△ADO≌△CBO，则∠DAO=∠BCO，根据平行线的判定定理可对③进行判断；易证△AMO≌△CNO，则S_△AMO=S_△CNO，所以S_{四边形ABNM}=S_△ABC，由于OA=OC，根据三角形的面积公式可得S_△ABO=

1

2

S_△ABC，则可对④进行判断；图中全等的三角形的对数有
△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，
△BNE≌△DMF，于是可对⑤进行判断．

解答：解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠DCA，
在△ABO和△CDO中

∠BAO=∠DCO AB=CD ∠ABO=∠CDO

，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB=OD，所以①正确；
OA=OC，
∵△AOD的周长=AD+OA+OD，△ODC的周长=DC+OA+OC，
∴△AOD的周长-△ODC的周长=AD-DC，所以②正确；
在△ADO和△CBO中

OA=OC ∠AOD=∠COB OD=OB

，
∴△ADO≌△CBO，
∴∠DAO=∠BCO，
∴AD∥BC，所以③正确；
易证△AMO≌△CNO，
∴S_△AMO=S_△CNO，
∴S_{四边形ABNM}=S_△ABC，
∵OA=OC，即OA=

1

2

AC，
∴S_△ABO=

1

2

S_△ABC，
∴S_△ABO=

1

2

S_{四边形ABNM}，所以④正确；
图中全等的三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，
△BNE≌△DMF，所以⑤错误．
故选B．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了平行线的判定与性质．