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在边长为1cm的正△ABC中,P0为BC边上一点,作P0P1⊥CA于点 P1,作P1P2⊥AB于点P2,作P2P3⊥BC于点P3.如果点P3恰与点P0重合,则△P1P2P3的面积是
 
cm2
分析:过A作AD⊥BC于D,根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD,计算三角形的面积,求出∠CP3P1=30°,推出CP3=2CP1,设CP1=a,AP2=b,BP3=c,推出CP3=2a,AP1=2b,BP2=2c,得到方程组
a+2b=1
b+2c=1
c+2z=1
,求出a=b=c,即可求出a、b、c,根据三角形的面积公式求出即可.
解答:精英家教网解:
过A作AD⊥BC于D,
∵等边三角形ABC,
∴BD=DC=
1
2

由勾股定理得:AD=
3
2

∴△ABC的面积是
1
2
×BC×AD=
1
2
×1×
3
2
=
3
4

∵等边三角形ABC,
∴∠C=60°,
∵P3P1⊥AC,
∴∠CP3P1=30°,
∴CP3=2CP1
设CP1=a,AP2=b,BP3=c,
∴CP3=2a,
同理AP1=2b,BP2=2c,
a+2b=1
b+2c=1
c+2z=1

解得:a=b=c,
即3a=1,
∴a=b=c=
1
3

2a=2b=2c=
2
3

由勾股定理得:P3P1=P1P2=P2P3=
3
3

∴△P1P2P3的面积是S△ABC-S△CP3P1-S△A P1P2 -S△BP2P3=
3
4
-3×
1
2
×
1
3
×
3
3
=
3
12

故答案为:
3
12
点评:本题主要考查对三角形的面积,三角形的内角和定理,勾股定理,面积与等积变形,等边三角形的面积,含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
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