分析:过A作AD⊥BC于D,根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD,计算三角形的面积,求出∠CP
3P
1=30°,推出CP
3=2CP
1,设CP
1=a,AP
2=b,BP
3=c,推出CP
3=2a,AP
1=2b,BP
2=2c,得到方程组
,求出a=b=c,即可求出a、b、c,根据三角形的面积公式求出即可.
解答:解:
过A作AD⊥BC于D,
∵等边三角形ABC,
∴BD=DC=
,
由勾股定理得:AD=
,
∴△ABC的面积是
×BC×AD=
×1×
=
,
∵等边三角形ABC,
∴∠C=60°,
∵P
3P
1⊥AC,
∴∠CP
3P
1=30°,
∴CP
3=2CP
1,
设CP
1=a,AP
2=b,BP
3=c,
∴CP
3=2a,
同理AP
1=2b,BP
2=2c,
∴
,
解得:a=b=c,
即3a=1,
∴a=b=c=
,
2a=2b=2c=
,
由勾股定理得:P
3P
1=P
1P
2=P
2P
3=
,
∴△P
1P
2P
3的面积是S
△ABC-
S△CP3P1-
S△A P1P2 -
S△BP2P3=
-3×
×
×
=
,
故答案为:
.
点评:本题主要考查对三角形的面积,三角形的内角和定理,勾股定理,面积与等积变形,等边三角形的面积,含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.