分析 (1)由正方形的性质和全等三角形的判定方法即可证明△OBG≌△OCF,
(2)由(1)可知△OBG≌△OCF,则OG=OF,∠BOG=∠COF,利用勾股定理可得BE的长,由射影定理得BF的长,易得EF的长,求得CF,进而在RT△BCE中,根据射影定理求得GF的长,即可求得OF的长.
解答 解:(1)
∵RT△BCE中,CF⊥BE,
∴∠EBC=∠ECF,
∵∠OBC=∠OCD=45°,
∴∠OBG=∠OCF,
在△OBG与△OCF中,
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$,
∴△OBG≌△OCF(SAS);
(2)
∵△OBG≌△OCF,
∴OG=OF,∠BOG=∠COF,
∴OG⊥OF,
在RT△BCE中,BC=DC=6,DE=2EC,
∴EC=2,
∴BE=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$,
∵BC2=BF•BE,
则62=BF•2$\sqrt{10}$解得:BF=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$,
∴EF=BE-BF=$\frac{\sqrt{10}}{5}$,
∵CF2=BF•EF,
∴CF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$,
∴GF=BF-BG=BF-CF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$,
在等腰直角△OGF中
OF2=$\frac{1}{2}$GF2,
∴OF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用,题目的综合性较强,难度中等,熟记各种特殊几何图形的性质是解题关键.
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A. | $\frac{{3{x^2}}}{4xy}$ | B. | $\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}$ | C. | $\frac{x-2}{{{x^2}-4}}$ | D. | $\frac{1+x}{{{x^2}+2x+1}}$ |
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A. | $\left\{\begin{array}{l}{5x+2y=10}\\{2x+5y=8}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{5x+2y=8}\\{2x+5y=10}\end{array}\right.$ | ||
C. | $\left\{\begin{array}{l}{5x+2y=10}\\{x+5y=8}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{2x+5y=8}\end{array}\right.$ |
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组号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | ⑧ |
频数 | 14 | 11 | 12 | 13 | ■ | 13 | 12 | 10 |
A. | 14 | B. | 15 | C. | 0.14 | D. | 0.15 |
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A. | -4 | B. | 3 | C. | $-\frac{4}{3}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |
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