Question

如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=

10

，求⊙O的半径长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠BAD；

（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．
在Rt△ADC中，AD=

AC2-DC2

=

( 10 )2-12

=3，
∵OE⊥AC，
∴AE=

1

2

AC=

10

2

．
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AO

AC

，即

10 2

3

=

AO

10

，
∴AO=

5

3

，即⊙O的半径为

5

3

．
解法二：如图2②，连接BC．
在Rt△ADC中，AD=

AC2-DC2

=

( 10 )2-12

=3．
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
即

10

3

=

AB

10

，
∴AB=

10

3

，
∴AO=

1

2

AB=

1

2

×

10

3

=

5

3

，
即⊙O的半径为

5

3

．