Question

如图，已知：点A₁、A₂、A₃、…在平面直角坐标系x轴上，点B₁、B₂、B₃、…在直线y=

3

3

x+1上，△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，求A₂₀₁₃的横坐标

（2²⁰¹³-1）

3

．

Answer 1

分析：首先设直线y=

3

3

x+1分别于x轴、y轴于点C、D，即可求得点C与D的坐标，即可求得∠OCD的度数，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，易求得OB₁=OC=

3

，A₁B₁=A₁C，A₂B₂=A₂C，则可得规律：OA_n=（2ⁿ-1）

3

．继而求得答案．

解答：解：设直线y=

3

3

x+1分别于x轴、y轴于点C、D，
∴点C（-

3

，0），点D（0，1），
∴OC=

3

，OD=1，
∴tan∠OCD=

1

3

=

3

3

，
∴∠OCD=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁C=∠A₁B₂C=∠A₂B₃C=∠OCD=30°，
∴OB₁=OC=

3

，A₁B₂=A₁C，A₂B₃=A₂C，
∴OA₁=OB₁=

3

，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₁=

3

+2

3

=3

3

，
同理：OA₃=7

3

，OA₄=15

3

，
∴OA_n=（2ⁿ-1）

3

．
∴OA₂₀₁₃=（2²⁰¹³-1）

3

．
故答案为：（2²⁰¹³-1）

3

．

点评：此题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．