Question

如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 （2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）直接写出该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以每秒1个单位长度的速度从A点出发沿射线AB匀速移动，设它们运动的时间为t秒（t＞0），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①填空：当0＜t≤3时，PN=______．（用含t的代数式表示）；
②在运动的过程中，以P、N、C、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请求出此时t的值，若不能，请说明理由．
③设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最小值？为什么？

Answer 1

解：（1）设所求函数关系式为y=a（x-2）²+4，
把（0，0）代入解析式得a（0-2）²+4=0，
解得，a=-1，
故函数解析式为y=-（x-2）²+4，
整理得y=-x²+4x．

（2）①∵N点纵坐标为-x²+4x，当x=t时，
AN=-t²+4t，
则PN=AN-AP=-t²+4t-t=-t²+3t．
②能成为平行四边形． 理由如下：
∵PN∥CD，
∴点P运动到PN=CD=3时，四边形PNCD即成为平行四边形．
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t．
∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t²+4t），
当0＜t≤3时，PN=-t²+3t，
∴-t²+3t=3．
此方程没有实数根．
当t＞3时，PN=t²-3t，
∴t²-3t=3．
解得，t₁=，t₂=（舍去）．
∴以P、N、C、D为顶点的四边形能成为平行四边形，此时，t=．
③S存在最小值． 理由如下：
（ⅰ）当PN=0，即t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S=DC•AD=×3×2=3．
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形．
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴当0＜t＜3时，S=（CD+PN）•AD
=[3+（-t²+3 t）]×2
=-t²+3 t+3
=-（t-）²+，其中（0＜t＜3），
由a=-1，0＜＜3，
此时S_最大=．
当t=3时，S_最小=3．
∴当t＞3时，S=（CD+PN）•AD
=[3+（t²-3 t）]×2
=t²-3t+3
=（t-）²+．
∴当t=3时，S_最小=3．
综上所述，当t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最小值，
这个最小值为3．
分析：（1）根据函数过（0，0）且其顶点为（2，4），故设函数关系式为y=a（x-2）²+4，将点（0，0）代入解析式即可求出a的值，从而的到函数解析式；
（2）①根据解析式求出N的纵坐标，减去P的纵坐标即可求出PN的表达式；②由于PN∥CD，可知点P运动到PN=CD=3时，四边形PNCD即成为平行四边形．当t＞3时，PN=t²-3t，转化为方程t²-3t=3，求出函数解析式即可．
（3）（i）当PN=0，即t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，求出三角形的高即可；（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形，转化为二次函数最值问题解答．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及动点问题、二次函数最值、平行四边形的判定与性质等问题，难度较大，是一道好题．