Question

20．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，点C均落在格点上，点B为中点．
（Ⅰ）计算AB的长等于$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
（Ⅱ）若点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，且BP=CQ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出当PQ最短时，点P，Q的位置，并简要说明画图方法（不要求证明）取BC的中点P，在AC上截取AQ=$\frac{1}{4}$AC，线段PQ即为所求．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理计算即可；
（2）设BP=CQ=x，由BC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，推出PC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x，在Rt△PCQ中，PQ=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3\sqrt{5}}{2}-x）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-3\sqrt{5}x+\frac{45}{4}}$，对于函数y=2x²-3$\sqrt{5}$x+$\frac{45}{4}$，当x=-$\frac{-3\sqrt{5}}{2×2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$时，y有最小值，此时PQ的值最小，此时PC=PB=CQ=$\frac{3}{4}$AC，取BC的中点P，在AC上截取AQ=$\frac{1}{4}$AC，图中PQ即为所求．

解答 解：（Ⅰ）由图象可知AB=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
（Ⅱ）设BP=CQ=x，
∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴PC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x，
在Rt△PCQ中，PQ=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3\sqrt{5}}{2}-x）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-3\sqrt{5}x+\frac{45}{4}}$，
对于函数y=2x²-3$\sqrt{5}$x+$\frac{45}{4}$，当x=-$\frac{-3\sqrt{5}}{2×2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$时，y有最小值，此时PQ的值最小，
此时PC=PB=CQ=$\frac{3}{4}$AC．取BC的中点P，在AC上截取AQ=$\frac{1}{4}$AC，图中PQ即为所求．

故答案为：取BC的中点P，在AC上截取AQ=$\frac{1}{4}$AC，线段PQ即为所求．

点评 本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，不同的突破点是求出PQ最小时，CQ的值，属于中考常考题型．