Question

【题目】已知抛物线顶点坐标为，且与轴交于原点和点．对称轴与轴交点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点在抛物线上，且横坐标为，在抛物线对称轴上找一点，使得与的差最大，求此时点的坐标；

（3）若点在抛物线的对称轴上，且纵坐标为．探究：在抛物线上是否存在点使得四点共圆？若存在求出点坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）即；（2） ；（3）Q（5，5）或（）或（）．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-4，解方程即可得到结论；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2-4x，解方程得到C（4，0），求得A（-2，12），而抛物线的对称轴为x=2，根据三角形三边关系定理之两边之差小于第三边，即可得到结论；
（3）由（2）知，抛物线的对称轴为直线x=2，求得P（2，8），由点O、M、P、Q四点共圆，得到点Q是Rt△OMP外接圆上，设Q坐标为（m，n），则m2-4m=n①，解方程即可得到结论．

解：（1）∵抛物线顶点坐标为（2，-4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-4，
∵抛物线过原点，
∴0=a（0-2）2-4，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2-4=x2-4x；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，则x2-4x=0，
∴x=0或x=4，
∴C（4，0），
∵A点的横坐标为-2，
∴y=4-4×（-2）=12，
∴A（-2，12），
而抛物线的对称轴为x=2，
∴点C（4，0）关于抛物线的对称轴x=2的对称点为O（0，0），
则过点O，A的直线与抛物线的对称轴的交点为点B，理由是三角形三边关系定理之两边之差小于第三边，
∵A（-2，12），
∴直线OA的解析式为y=-6x，
当x=2时，y=-12，
∴点B（2，-12）；
（3）由（2）知，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴P（2，8），
∵抛物线的对称轴与x轴交点为M，
∴M（2，0），
∴∠OMP=90°，
∵点O、M、P、Q四点共圆，则点Q是Rt△OMP外接圆上，
∴点Q到OP的中点的距离等于半径OP=×，而OP的中点坐标为（1，4），
由（1）知，抛物线的解析式为y=x2-4x，设Q坐标为（m，n），则m2-4m=n①，
∴（m-1）2+（n-4）2=17②，∴m2-2m+n2-8n=0，
而m2-2m+（m2-4m）2-8（m2-4m）=m2-2m+m2（m-4）2-8m（m-4）
=m[m-2+m（m-4）2-8（m-4）]=m[（m-5）+（m-5）（m-4）2+5（m-4）2-8（m-5）+3-8]
=m{（m-5）+（m-5）（m-4）2+5[（m-5）2+2（m-5）+1]-8（m-5）-5}
=m[（m-5）+（m-5）（m-4）2+5（m-5）2+10（m-5）-8（m-5）]
=m（m-5）[1+（m-4）2+5（m-5）+2]
=m（m-5）（m2-3m-6）
∴m（m-5）（m2-3m-6）=0，
∴m=0（舍）或m=5或m2-3m-6=0，
∴m=5或m= ，
∴Q（5，5）或（）或（）．