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    （2012•孝感模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-
    3
    4
    x+3    与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
    （1）求该抛物线所对应的函数关系式；
    （2）设P（x，y）是在第一象限内该抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
    ①试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
    ②当x=
    1或3
    1或3
    时，P、C、O、N四点能围成平行四边形．
    （3）连接PC，在（2）的条件下，解答下列问题：
    ①请用含x的式子表示线段BN的长度：BN=
    5-
    5
    4
    x
    5-
    5
    4
    x
    ；
    ②若PC⊥BC，试求出此时点M的坐标．
    分析：（1）利用一次函数求出点B、C的坐标，然后利用待定系数发求解二次函数解析式即可；
    （2）①根据二次函数解析式设出点P的坐标，根据直线BC解析式设出点N的坐标，然后根据PN=PM-NM，可得出PN的表达式，利用配方法可求出最大值．
    ②根据PN∥OC，可得出要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，结合①PN的表达式可建立方程，解出即可得出答案．
    （3）①根据△BNM∽△BCO，利用相似三角形的对应边成比例可得出BN的关于x的表达式；
    ②先判断出△PCN∽△BOC，然后利用利用对应边成比例可得出方程，解出即可得出x的值，也可确定点M的坐标．
    解答：解：（1）由于直线y=-
    3
    4
    x+3    经过B、C两点，令y=0得x=4；令x=0，得y=3，
    故可得：B（4，0），C（0，3），
    ∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得
    -16+4b+c=0
    c=3
    ，
    解得：b=
    13
    4
    ，c=3，
    ∴所求函数关系式为y=-x2+
    13
    4
    x+3    ．

    （2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x2+
    13
    4
    x+3    上，且PN⊥x轴，
    ∴设点P的坐标为（x，-x2+
    13
    4
    x+3    ）同理可设点N的坐标为（x，-
    3
    4
    x+3    ），
    又∵点P在第一象限，
    ∴PN=PM-NM=（-x2+
    13
    4
    x+3    ）-（-
    3
    4
    x+3    ）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
    ∴当x=2时，
    线段PN的长度的最大值为4．
    ②因为PN∥CO，要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，
    由①得：PN=-x2+4x，故可得：-x2+4x=3，
    解得：x=1或3．

    （3）①∵△BNM∽△BCO，
    ∴
    MN
    OC
    =
    BN
    BC
    ，即
    -
    3
    4
    x+3
    3
    =
    BN
    5
    ，
    解得：BN=5-
    5
    4
    x    ．
    ②由PC⊥BC得∠PCN=∠COB=90°，
    又∵∠PNC=∠OCB（由PN∥OC得出），
    ∴△PCN∽△BOC，
    ∴
    PN
    BC
    =
    CN
    OC
    ，即
    -x2+4x
    5
    =
    5
    4
    x
    3
    ，
    解得：x=
    23
    12
    或x=0（舍去），
    故此时点M的坐标为（
    23
    12
    ，0）．
    点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答．
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    =
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    		18
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