Question

某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，将已知坐标代入即可求解．
（2）求出P的函数解析式，然后再求出对称轴，最后可求出在哪个阶段x的函数变化．

解答：解：（1）设y与x的函数关系式为：
y=kx+b
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）
∴

400=60k+b 300=70k+b

，
解得

k=-10 b=1000

∴y=-10x+1000．（4分）

（2）P=（x-50）（-10x+1000）P=-10x²+1500x-50000（6分）
自变量取值范围：50≤x≤70．（7分）
∵-

b

2a

=-

1500

-20

=75，a=-10＜0
∵函数P=-10x²+1500x-50000中，a=-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴是直线x=75，
∵50≤x≤70，此时P随x的增大而增大，
∴当x=70时，P_最大值=6000．（10分）

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．