Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

先确定出EG⊥AC时,四边形AGCD的面积最小,再用锐角三角函数求出点G到AC的距离,最后用面积之和即可得出结论．

解:∵四边形ABCD是矩形,

∴CD＝AB＝3,AD＝BC＝4,∠ABC＝∠D＝90°,根据勾股定理得,AC＝5,

∵AB＝3,AE＝2,

∴点F在BC上的任何位置时,点G始终在AC的下方,

设点G到AC的距离为h,

∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6,

∴要四边形AGCD的面积最小,即h最小,

∵点G是以点E为圆心,BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,

∴EG⊥AC时,h最小,即点E,点G,点H共线．

由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°,

延长EG交AC于H,则EH⊥AC,

在Rt△ABC中,sin∠BAC＝,

在Rt△AEH中,AE＝2,sin∠BAC＝=,

∴EH＝,AE＝,

∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝,

∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝.

故答案为:．