A. | $\sqrt{2}$ | B. | 2 | C. | $\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$ | D. | 2$\sqrt{2}$ |
分析 连结CD、DE、DF,如图,根据等腰直角三角形的性质得∠A=45°,CD⊥AB,CD=AD=BD,∠DCB=45°,易证得△ADE≌△CDF,则∠ADE=∠CDF,DE=DF,再判断△EDF为等腰直角三角形,得到DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF,由于S△DEF=$\frac{1}{2}$•DE2=$\frac{1}{4}$EF2,所以当EF越小,S△DEF越小,加上S△CEF+S△EDF=S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC,则当EF越小,S△DEF越小,而S△CEF越大,此时点C到EF的距离越大,即EF最小时,点C到EF的距离最大,设点C到EF的最大距离为h,根据圆周角定理,由∠ECF=90°得EF为⊙O的直径,所以当⊙O的直径等于CD时,⊙O的直径最小,即EF最小,此时可判断四边形CEDF为正方形,根据正方形和等腰直角三角形的性质易得h=$\sqrt{2}$.
解答 解:连结CD、DE、DF,如图,
∵∠C=90°,AC=BC=4,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠A=45°,
∵D是AB的中点,
∴CD⊥AB,CD=AD=BD,∠DCB=45°,
在△ADE和△CDF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴∠ADE=∠CDF,DE=DF,
∵∠ADF+∠CDE=90°,
∴∠CDF+∠CDE=90°,即∠EDF=90°,
∴△EDF为等腰直角三角形,
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF,
∴S△DEF=$\frac{1}{2}$•DE2=$\frac{1}{4}$EF2,
当EF越小,S△DEF越小,
∵S△CEF+S△EDF=S△CDE+S△CDF=S△CED+S△ADE=S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC=4,
∴当EF越小,S△DEF越小,而S△CEF越大,此时点C到EF的距离越大,
即EF最小时,点C到EF的距离最大,设点C到EF的最大距离为h,
∵∠ECF=90°,
∴EF为⊙O的直径,
∴当⊙O的直径等于CD时,⊙O的直径最小,即EF最小,此时∠DEC=∠DFC=90°,则四边形CEDF为正方形,h=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$,
即点C到线段EF的最大距离为$\sqrt{2}$.
故选A.
点评 本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质;会运用三角形全等解决线段相等的问题;记住三角形的面积公式.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 88mm | B. | 96mm | C. | 80mm | D. | 84mm |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | x2+2x+1=x(x+2)+1 | B. | a2-6a+9=(a-3)2 | ||
C. | (a+1)(a-1)=a2-1 | D. | -18x4y3=-6x2y2•3x2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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