Question

1．在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BF平分∠EBC交CD于点F，交AC于点G，将△CGF沿直线GF折叠至△C′GF，BD与△C′GF相交于点M、N，连接CN，若AB=6，则四边形CNC′G的面积是6-$\frac{6}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 建立如图坐标系，延长BE交CD的延长线于K．则易知AB=DK=6，CK=12，BE=EK=3$\sqrt{5}$，BK=6$\sqrt{5}$．利用角平分线的性质定理，求出CF，点G的坐标，再求出C′F的解析式，利用方程组求出点N的坐标，即可解决问题．

解答 解：建立如图坐标系，延长BE交CD的延长线于K．则易知AB=DK=6，CK=12，BE=EK=3$\sqrt{5}$，BK=6$\sqrt{5}$．

∵BF平分∠CBK，
∴$\frac{CF}{FK}$=$\frac{BC}{BK}$=$\frac{6}{6\sqrt{5}}$，
CF=3（$\sqrt{5}$-1），F[6，3（$\sqrt{5}$-1）]．
∵CG平分∠ACF，
∴可得CG=3$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，S_△CGF=$\frac{1}{2}$•CG•CF•sin45°=$\frac{9}{5}$（3$\sqrt{5}$-5），
由C′（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{12\sqrt{5}}{5}$），F[6，3（$\sqrt{5}$-1）]，
∴直线C′F的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3$\sqrt{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+3\sqrt{5}}\end{array}\right.$解得N（2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），
∴S_△CFN=$\frac{1}{2}$•（6-2$\sqrt{5}$）•3（$\sqrt{5}$-1）=12$\sqrt{5}$-24，
∴S_{四边形CNC′G}=2S_△CFG-S_△CFN=$\frac{54}{5}$$\sqrt{5}$-18-12$\sqrt{5}$+24=6-$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案为6-$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、角平分线的性质定理、翻折变换、勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．