Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④．

其中正确结论的个数是（　　）

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据正方形的性质得出AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°，求出DE＝2，AF＝AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，设BG＝x，则CG＝BCBG＝6x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6x）2＋42＝（x＋2）2，求出x＝3，得出BG＝GF＝CG，求出∠AGB＝∠FCG，推出AG∥CF，根据BG=GF=CG=3，CE=4，直接计算．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°．

∵CD=3DE，∴DE=2．

∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，

∴AF=AB．

∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；

∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，

设BG=x，则CG=BC﹣BG=6﹣x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．

在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．

∵CG=6﹣x，CE=4，EG=x+2，

∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，

解得：x=3，∴BG=GF=CG=3，∴②正确；

∵CG=GF，∴∠CFG=∠FCG．

∵∠BGF=∠CFG+∠FCG．

又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．

∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，∴∠AGB=∠FCG，∴AG∥CF，∴③正确；

∵BG=GF=CG=3，CE=4，∴，∴④正确．

故选A．