Question

在数学课外活动中，某学习小组在讨论“导学案”上的一个作业题：
已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：AO⊥BC．
同学甲说：要作辅助线；
同学乙说：要应用角平分线性质定理来解决：
同学丙说：要应用等腰三角形“三线合一”的性质定理来解决．
如果你是这个学习小组的成员，请你结合同学们的讨论写出证明过程．

Answer 1

证明：如图，过O点作OD⊥AB于D，过O点作OE⊥AC于E．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，AO平分∠BAC，
∴OD=OE．                               
∵∠1=∠2，
∴OB=OC．                               
在Rt△BDO和Rt△CEO中，
，
∴△DOB≌△EOC（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
∵OA平分∠BAC，
∴AO⊥BC．
分析：如图，过O点作OD⊥AB于D，过O点作OE⊥AC于E．利用角平分线的性质和全等三角形的判定定理HL证得Rt△DOB≌Rt△EOC（HL），则由全等三角形的性质和等角对等边得到
AB=AC，再利用等腰三角形“三线合一”的性质证得AO⊥BC．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．