Question

如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AB、AC的中点，AD、BF、CE相交于点O，AB=12，BC=13，AC=5．试求出线段DF、OA的长度与∠EDF的大小．

Answer 1

分析：根据勾股定理的逆定理判定三角形ABC为直角三角形，再根据中位线性质和三角形的内角和定理即可求出DF、OA和∠EDF的大小．

解答：解：∵D、F分别为BC、AC的中点，
∴DF为中位线，
∴DF=

1

2

AB=6；
∵AB=12，BC=13，AC=5．
∴AB²+AC²=BC²，
△ABC是直角三角形，
∴AD=

1

2

BC=

13

2

，
∵D、E、F分别为BC、AB、AC的中点，AD、BF、CE相交于点O，
∴AO=

2

3

AD=

2

3

×

13

2

=

13

3

，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠ACB，
∵DE∥AB，
∴∠FDC=∠ABC，
∴∠EDF=180°-（∠ACB+∠ABC）=180°-90°=90°．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理以及平行线的性质和三角形的内角和定理．