Question

17．已知如图：抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，过点D的对称轴交x轴于点E．
（1）如图1，连接BD，试求出直线BD的解析式；
（2）如图2，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DF：BF的值；
（3）如图3，已知点K（0，-2），连接BK，将△BOK沿着y轴上下平移（包括△BOK），在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出B、D两点的坐标，利用待定系数法求直线BD的解析式；
（2）作辅助线将四边形PBAC的面积分成三部分：两直角三角形和一个直角梯形，设点P的坐标和四边形PBAC的面积为S，利用等量关系列等式，化简后是关于S与m的二次函数，S有最大值即是顶点坐标，求出点P的坐标及直线PC的解析式，并求交点F的坐标，最后求出DF和BF的长和比值；
（3）分二种情况进行讨论：①点M在对称轴的右侧时，设点G（2，y），求直线BK和MN的解析式，并表示出点M和N人坐标；根据△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形得出两直角三角形全等，由对应边相等列方程组可求出b和y的值，写出点G的坐标（2，$\frac{10}{3}$）；②点M在对称轴的左侧时，同理可求出点G的坐标为（2，-$\frac{10}{7}$）或（2，-3）．

解答 （1）令y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$中y=0，则-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=0，则得x₁=-1，x₂=5，
∴A（-1，0），B（5，0），
对称轴x=-$\frac{2}{-\frac{1}{2}×2}$=2，
当x=2时，y=-$\frac{1}{2}$×2²+2×2+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴D（2，$\frac{9}{2}$），
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），把点B（5，0），D（2，$\frac{9}{2}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{2k+b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式为y=$-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$；
（2）如图2所示，过P作PG⊥x轴，垂足为G，
设P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$），四边形PBAC的面积为S，
则S=S_△AOC+S_梯形OCPG+S_△PGB
=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$×m×（$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$）+$\frac{1}{2}$（5-m）（-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{25}{4}$m+$\frac{15}{2}$
=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{245}{16}$，
∴当m=$\frac{5}{2}$时，S有最大值，
∴-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$×$（\frac{5}{2}）^{2}$+2×$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{35}{8}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{35}{8}$），
PC的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{20}{9}}\\{y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{20}{9}$，$\frac{25}{6}$），
过F作FH⊥对称轴于H，
则DE=$\frac{9}{2}$，DH=$\frac{9}{2}$-$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴DF：BD=DH：DE=$\frac{1}{3}$：$\frac{9}{2}$=2：27；
∴DF：BF=2：25；
（3）①点M在对称轴的右侧时，如图3所示，
直线BK的解析式为：y=$\frac{2}{5}$x-2，
∵BK∥MN，
∴设直线MN的解析式为：y=$\frac{2}{5}$x+b，得M（-$\frac{5}{2}$b，0）、N（0，b），
由已知得MN=MG，∠GMN=90°，
∴∠OMN=∠EGM，∠NOM=∠MEG=90°，
∴△NOM≌△MEG，
设G（2，y），则OM=EG，ON=EM，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{2}b=y}\\{-b=-\frac{5}{2}b-2}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴G（2，$\frac{10}{3}$）；
②当点M在对称轴左侧时，如图4所示，同理得G（2，-$\frac{10}{3}$），
如图5所示，同理得G（2，-3），
综上所述：存在点G的坐标为（2，$\frac{10}{3}$）或（2，-$\frac{10}{3}$）或（2，-3）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并会用函数的解析式表示图象上某点的坐标，同时把函数和方程相结合，求出点的坐标；并运用了分类讨论的思想，这在函数问题中经常运用，要灵活掌握．