Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：

①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．

其中正确的结论有______（填序号）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

连接BD，BM，AM，EM，DE，根据圆周角定理的推论可判定四边形ADMB是矩形，进一步可判断①；在①的基础上可判定四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，即可判断②；易证∠AEM=∠ADM=90，DM=EM，再利用角的关系可得∠ADE=∠AED，继而可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，故可判断③.

解：连接BD，BM，AM，EM，DE，

∵∠BAD=90°，∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，

∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，

∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，

又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；

∵AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，

∴BE∥AM，∴，故②正确；

∵，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，

∵∠ADM=90，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90，

∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；

由题设条件求不出⊙O的直径，所以③错误；

故答案为：①②④.