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如图,AB是⊙O的直径,DF切⊙O于点D,BF⊥DF于F,过点A作AC∥BF交BD的延长线于点C.
(1)求证:∠ABC=∠C;
(2)设CA的延长线交⊙O于E,BF交⊙O于G,若
DG
的度数等于60°,试简要说明点D和点E关于直线AB对称的理由.精英家教网
分析:(1)作辅助线,连接OD,由DF为⊙O的切线,可得OD⊥DF,又BF⊥DF,AC∥BF,所以OD∥AC,∠ODB=∠C,由OB=OD得∠ABD=∠ODB,从而可证∠ABC=∠C;
(2)连接OG,OD,AD,由BF∥OD,
GD
=60°,可求证
BG
=
GD
=
AD
=60°由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°,由垂径定理便可得出结论.
解答:精英家教网证明:(1)连接OD,
∵DF为⊙O的切线,
∴OD⊥DF.
∵BF⊥DF,AC∥BF,
∴OD∥AC∥BF.
∴∠ODB=∠C.
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB.
∴∠ABC=∠C.

(2)连接OG,OD,AD,
∵BF∥OD,
∴∠OBG=∠AOD,
GD
=
AD

GD
=60°,
BG
=
GD
=
AD
=60°.
∴OD∥BF∥AC.
∴∠ABC=∠C=∠E=30°,∠ODE=∠E=30°.
在△ODH中,∠ODE=30°,∠AOD=60°,
∴∠OHD=90°,
∴AB⊥DE.
∴点D和点E关于直线AB对称.
点评:本题考查的是切线的性质及圆周角定理,比较复杂,解答此题的关键是作出辅助线,利用数形结合解答.
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  1. A.
    4米
  2. B.
    6米
  3. C.
    8米
  4. D.
    10米

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