Question

12．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=-$\frac{b}{2a}$求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-$\frac{1}{4}$×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线解析式为 y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
又∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴对称轴方程为：x=3．

（2）在y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
令y=0，即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，整理得x²-6x-16=0，
解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4．

（3）存在，
理由：∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点Q（3，t），∵A（-2，0），C（0，4），
∴AC=2$\sqrt{5}$，AQ=$\sqrt{25+{t}^{2}}$，CQ=$\sqrt{（t-4）^{2}+9}$．
①当AQ=CQ时，
有$\sqrt{25+{t}^{2}}$=$\sqrt{（t-4）^{2}+9}$，
25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
②当AC=AQ时，
有2$\sqrt{5}$=$\sqrt{25+{t}^{2}}$，
∴t²=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
③当AC=CQ时，
有2$\sqrt{5}$=$\sqrt{（t-4）^{2}+9}$，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±$\sqrt{11}$，
∴点Q坐标为：Q₂（3，4+$\sqrt{11}$），Q₃（3，4-$\sqrt{11}$）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q₁（3，0），Q₂（3，4+$\sqrt{11}$），Q₃（3，4-$\sqrt{11}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（3）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论．