Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，点E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最大值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

当点E在正方形右侧时，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，根据A，C，E，D四点共圆，可得OE＝OD＝，再根据PE≤OP+OE＝，可得当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝，则线段PE的最大值为；

当点E在正方形上方时，作斜边为AD的等腰直角△AOD，则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，求得此时PE最大值为；比较两个最大值，可得最终结果．

解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，

∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，

∴A，C，E，D四点共圆，

∵正方形ABCD的边长为2，

∴OE＝OD＝BD＝，

∵P为AB的中点，O是BD的中点，

∴OP＝AD＝，

∵PE≤OP+OE＝+，

∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝+，

即线段PE的最大值为+，

如图，点E在正方形ABCD上方，

作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，

则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，

∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，

过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，

∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°

∴AO＝，∠OAD＝45°，

∵ON⊥AB，AD⊥AB

∴∠NAO＝∠NOA＝45°

∴AN＝NO＝

∴PO＝

∴PE最大值为，

故答案为.