Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿线段BC向右平移得到△DEF，使CE=AE，连结AD、AE、CD，则下列结论：①AD∥BE且AD=BE；②∠ABC=∠DEF；③ED⊥AC；④四边形AECD为菱形，其中正确的共有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据平移的性质得出AC∥DF，△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC=EF，AC=DF，∠ACB=∠F，∠B=∠DEF，根据平行线的判定推出DE∥AB，AC∥DF，得出平行四边形ACFD，推出AD=CF，即可推出各个选项．

解答：解：∵将△ABC沿线段BC向右平移得到△DEF，
∴AC∥DF，△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，
即AD∥AE，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BC-EC=EF-EC，
∴BE=CF，
∴AD=BE，∴①正确；
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∴②正确；
∵将△ABC沿线段BC向右平移得到△DEF，
∴AB∥ED，
∵∠BAC=90°，
即AB⊥AC，
∴ED⊥AC，∴③正确；
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACE，
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ACE，
∴∠DAC=∠EAC，
∵AC⊥DE，
∴∠AOE=∠AOD=90°，
在△ADO和△AEO中

∠DAO=∠EAO AO=AO ∠AOD=∠AOE

∴△ADO≌△AEO，
∴AD=AE，
∵AE=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE=EC，
∴四边形AECD是菱形，∴④正确；
即正确的个数是4个．
故选D．

点评：本题考查了平移的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．