Question

如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点．连接AB且PA、PB的长分别是方程x²-2mx+3=0的两根，AB=m，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：首先用切线的性质及根的判别式求出m的值即AB的长，代入原方程得出两根即PA、PB的长，则可得AB=PA=PB，即可证得△ABP为等边三角形，∠APB=60°，则∠APO=30°，再用正切公式求出OA的长及圆的半径．

解答：解：∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB，
∵PA、PB的长分别是方程x²-2mx+3=0的两根，
∴△=（-2m）²-4×3=0，
∴m²=3，m＞0，
∴m=

3

，
∴x²-2

3

x+3=0，
∴x₁=x₂=

3

，
∴PA=PB=AB=

3

，
∴△ABP等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∵PA=

3

，
∴OA=1．
即⊙O的半径为1．

点评：此题考查了圆的性质、根的判别式、含30°角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．