【题目】如图,在中,,,以为一边向上作等边三角形,点在垂直平分线上,且,连接,,.
(1)判断的形状,并说明理由;
(2)求证:;
(3)填空:
①若,相交于点,则的度数为______.
②在射线上有一动点,若为等腰三角形,则的度数为______.
【答案】(1)△CBE是等边三角形 理由见解析;(2)见解析;(3)① 60,② 15或60或105
【解析】
(1)由垂直平分线的性质可得EC=EB,再算出∠CBE=60°,可判定;
(2)通过证明△ABE≌△DBC可得;
(3)①由(2)中全等可得∠EAB=∠CDB,再根据三角形内角和可得∠AFD的度数;
②分PB=PB,BP=BC,CP=CB三种情况讨论,通过等腰三角形的性质,借助∠ABC的度数计算∠ACP的度数.
解:(1)△CBE是等边三角形 理由如下:
∵点E在BC垂直平分线上
∴EC=EB
∵EB⊥AB
∴∠ABE=90
∵∠ABC=30
∴∠CBE=60
∴△CBE是等边三角形
(2)∵△ABD是等边三角形
∴AB=DB,∠ABD=60
∵∠ABC=30
∴∠DBC=90
∵EB⊥AB
∴∠ABE=90
∴∠ABE=∠DBC
由(1)可知:△CBE是等边三角形
∴EB=CB
∴△ABE≌△DBC(SAS)
∴AE=DC
(3)①设AB与CD交于点G,
∵△ABE≌△DBC
∴∠EAB=∠CDB,
又∵∠AGC=∠BGD
∴∠AFD=∠ABD=60°.
② ∵△BCP为等腰三角形,如图,
当BC=BP时,
∠ABC=∠BCP+∠BPC=30°,
∴∠BCP=15°,
∴∠ACP=90°+15°=105°;
当PC=PB时,
∵∠ABC=30°,
∴∠PCB=30°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACP=60°;
当BP=BC时,
∵∠ABC=30°,
∴∠PCB=∠CPB=(180°-30°)=75°,
∴∠ACP=90°-75°=15°.
综上:∠ACP的度数为15或60或105.
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【题目】如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:CD=2BF+DE.
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【题目】某工程对承接了60万平方米的绿化工程,由于情况有变,……,设原计划每天绿化的面积为万平方米,列方程为,根据方程可知省略的部分是( )
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前30天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果延误30天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果延误30天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果提前30天完成了这一任务
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)当x12+x22=6x1x2时,求m的值.
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【题目】随着“中国诗词大会”节目的热播,《唐诗宋词精选》一书也随之热销.如果一次性购买10本以上,超过10本的那部分书的价格将打折,并依此得到付款金额y(单位:元)与一次性购买该书的数量x(单位:本)之间的函数关系如图所示,则下列结论错误的是( )
A. 一次性购买数量不超过10本时,销售价格为20元/本
B. a=520
C. 一次性购买10本以上时,超过10本的那部分书的价格打八折
D. 一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元
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【题目】已知,点P是等边三角形△ABC中一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ、QC.
(1)求证:PB=QC;
(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,求PC的长度.
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【题目】甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的球,已知甲箱内的红球占甲箱内球数的,乙箱内没有红球,丙箱内的红球占丙箱内球数的.小蓉将乙、丙两箱内的球全倒入甲箱后,要从甲箱内取出一球,若甲箱内每球被取出的机会相等,则小蓉取出的球是红球的机率为何?( )
A. B. C. D.
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