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(本题满分12分)

已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.

(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;

(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM,是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

(1)BE=2;

(2)存在满足条件的t,

【解析】

试题分析:(1)由于四边形BEFG为正方形,所以得GF∥BE,从而得△AGF∽△ABC,由相似比即可得正方形的边长,即BE长;

由已知条件可得△MEC∽△ABC,从而得ME的长,利用勾股定理分别求得△B′DM在三边长,然后分情况讨论即可.

试题解析:(1)如图①,设正方形BEFG的边长为x,则BE=FG=BG=x,∵AB=3,BC=6,∴AG=AB﹣BG=3﹣x,

∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC,∴,即,解得:x=2,即BE=2;

(2)存在满足条件的t,当t为或﹣3+时,△B′DM是直角三角形;

理由:如图②,过点D作DH⊥BC于H,则BH=AD=2,DH=AB=3,由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t,∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC,∴,即,∴ME=2﹣t,

在Rt△B′ME中,B′M2=ME2+B′E2=22+(2﹣t)2=t2﹣2t+8,

在Rt△DHB′中,B′D2=DH2+B′H2=32+(t﹣2)2=t2﹣4t+13,

过点M作MN⊥DH于N,

则MN=HE=t,NH=ME=2﹣t,

∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣t)=t+1,

在Rt△DMN中,DM2=DN2+MN2=t2+t+1,

(Ⅰ)若∠DB′M=90°,则DM2=B′M2+B′D2,

t2+t+1=(t2﹣2t+8)+(t2﹣4t+13),

解得:t=

(Ⅱ)若∠B′MD=90°,则B′D2=B′M2+DM2,

即t2﹣4t+13=(t2﹣2t+8)+(t2+t+1),

解得:t1=﹣3+,t2=﹣3﹣(舍去),

∴t=﹣3+

(Ⅲ)若∠B′DM=90°,则B′M2=B′D2+DM2,

即:t2﹣2t+8=(t2﹣4t+13)+(t2+t+1),

此方程无解,

综上所述,当t为或﹣3+时,△B′DM是直角三角形;

考点:1、正方形的性质;2、相似三角形的判定与性质;3、勾股定理;4、分类思想.

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x

3.23

3.24

3.25

3.26

ax2+bx+c

﹣0.06

﹣0.02

0.03

0.09

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