Question

（2007•益阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=4，将矩形沿对角线AC剪开，解答以下问题：
（1）在△ACD绕点C顺时针旋转60°，△A₁CD₁是旋转后的新位置（图A），求此AA₁的距离；
（2）将△ACD沿对角线AC向下翻折（点A、点C位置不动，△ACD和△ABC落在同一平面内），△ACD₂是翻折后的新位置（图B），求此时BD₂的距离；
（3）将△ACD沿CB向左平移，设平移的距离为x（0≤x≤4），△A₂C₁D₃是平移后的新位置（图C），若△ABC与△A₂C₁D₃重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理可得AC长度，由于AC=A₁C，因为∠ACA₁=60°，所以△ACA₁为等边三角形，那么AA₁=AC
（2）易得BD₂是等腰梯形的上底，那么可过梯形上底两个端点作下底的垂线，得到两个全等的直角三角形，把所求线段转移到下底求解．
（3）易得阴影部分为平行四边形，那么可根据相应的三角函数求得阴影部分的底与高．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，，
在△ACA₁中，∵AC=A₁C，∠ACA₁=60°，
∴△ACA₁为等边三角形．
∴AA₁=AC=8．（4分）

（2）如图2所示，过B，D₂分别作BE⊥AC于E，D₂F⊥AC于F，则BE∥D₂F，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=4，tan∠BAC===，
∴∠BAC=60°．
在Rt△ABE中，AB=4，∠BAE=60°，∠ABE=30°，
∴AE=AB=2，BE=2．
同理，CF=2，，
∴EF=AC-AE-CF=8-2-2=4，
∵，
∴四边形BEFD₂是平行四边形，
∴BD₂=EF=4．（8分）

（3）如图3所示，AA₂=x，x，，
∵平移的概念及矩形的性质得AG∥C₁H，GC₁∥AH，
∴四边形AGC₁H是平行四边形，
∴y=S_{平行四边形AGC1H}=AG•AD₃=（0≤x≤4）．（12分）

点评：旋转前后，翻折前后得到的对应线段和角都相等，作等腰梯形的两高构造直角三角形是常用的辅助线方法．