Question

13、求证：四边形的内角和等于360度．

Answer 1

分析：要证明四边形的内角和问题，三角形的内角和已知是180度，这样就可以把四边形的问题转化为三角形的问题．转化的方法是作出四边形一条对角线，就转化为两个三角形．

解答：证明：分析应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．
如图所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长AB，CB到H，G．则有∠A=∠2（同位角相等），∠D=∠1（内错角相等），∠1=∠3（同位角相等）．
∠C=∠4（同位角相等），
又∠ABC（即∠B）=∠GBH（对顶角相等）．
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
说明（1）同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．
（2）总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：
三角形内角和=180°=（3-2）×180°，
四边形内角和=360°=2×180°=（4-2）×180°．
人们不禁会猜想：
五边形内角和=（5-2）×180°=540°，
n边形内角和=（n-2）×180°．
这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．
（3）在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．

点评：化未知为已知是解决问题的基本思路．