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已知:如图,DABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.

1.求证:∠DAC =∠DBA;

2.求证:是线段AF的中点

3.若⊙O 的半径为5,AF =,求tan∠ABF的值.

 

 

1.∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA  

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD 

∠DAC =∠DBA        (2分)

2.∵AB为直径,∴∠ADB=90° 

又∵DE⊥AB于点E,∴∠DEB=90°  ∴∠ADE +∠EDB=∠ABD +∠EDB=90°

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP 

∴PD=PA    

又∵∠DFA +∠DAC=∠ADE +∠PD F=90°且∠ADE=∠DAC

∴∠PDF=∠PFD                    

∴PD=PF   ∴PA= PF  即P是线段AF的中点   (3分)

3.∵∠DAF =∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°∴△FDA ∽△ADB

    

∴在Rt△ABD 中,tan∠ABD=,即tan∠ABF=  (3分)

解析:(1)根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD,以及∠CBD=∠DBA得出答案即可;

(2)首先得出∠ADB=90,再根据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD,从而得出PA=PF;

(3)利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案.

 

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(2)请判断A,D,F三点是否在以P为圆心,以PD为半径的圆上?并说明理由;
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2.求证:是线段AF的中点

3.若⊙O 的半径为5,AF = ,求tan∠ABF的值.

 

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